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Vol. 4 No. 1
©Derechos de autor reservados 2002

Aprender a guiar el entendimiento matemático de niños preescolares: el desarrollo profesional de una maestra

Anna Kirova
Universidad de Alberta

Ambika Bhargava
Universidad de Oakland

Resumen

The National Council of Teachers of Mathematics (Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas) enfatiza que los niños pequeños necesitan oportunidades para jugar a fin de desarrollar y profundizar su entendimiento conceptual de la matemática. Desde una perspectiva social-constructivista, es más probable que ocurra el aprendizaje si los adultos o los compañeros con más aptitud sirven de intermediarios en las experiencias de aprendizaje de un niño. Enfatizando tanto la perspectiva del desarrollo como la curricular, este artículo se enfoca en el papel del maestro en guiar el aprendizaje matemática de los niños preescolares mientras juegan con objetos de la vida común. Se identificaron tres áreas de desarrollo profesional como esenciales para que los maestros aprendieran a guiar el aprendizaje de niños pequeños de conceptos matemáticos. La primera es la capacidad de reconocer el entendimiento de conceptos matemáticos que los niños demuestran, la segunda es la capacidad de usar lenguaje matemático para guiar el progreso desde el entendimiento comportamental al representacional de conceptos matemáticos, y la tercera es la capacidad de evaluar sistemáticamente el entendimiento de los niños de los conceptos matemáticos. Se sugieren listas de verificación que siguen el desarrollo de tres conceptos matemáticos fundamentales--la correspondencia uno-a-uno, la clasificación, y la seriación--como herramientas docentes para examinar el aprendizaje de conceptos matemáticos de niños preescolares y planear experiencias de aprendizaje apropiadas dentro de las zonas de desarrollo próximo de los niños. Creando un ambiente que fomenta las habilidades matemáticas de los niños, y mediando las experiencias de los niños en este ambiente, se establece el fundamento para construir, modificar e integrar los conceptos matemáticos de los niños pequeños.

Introducción

Laura acaba de terminar de leer a su clase preescolar el cuento "Goldilocks y los tres osos." Anuncia que ya es hora de juego libre. Rachel, de cuatro años, mira alrededor del salón por un rato y se dirige al centro para el juego dramático y el hacer de casa. Hoy este centro está equipado con muñecas, otros juguetes suaves, tazas, platos, cuchillería de plástico, alimentos de plástico, una mesa, sillas, y ropa para jugar de aparentar. Rachel toma una camisa grande y mete los pies en unos "zapatos de Mami." Después saca de la colección tres ositos de varios tamaños y los coloca alrededor de la mesa. Mientras sienta los ositos en tres sillas, dice susurrando, "Tú eres el oso Papi (escogiendo el osito más grande), tú eres la osa Mami (escogiendo el osito de tamaño medio), y tú eres el oso Nene (escogiendo el más pequeño). Rachel entonces va a la estantería y saca un plato, colocándolo ante el osito Papi; vuelve a la estantería para traer un segundo plato y lo coloca ante la osita Mami; y da una última vuelta para ir por un plato para colocar ante el osito Nene. Después Rachel va a la estantería y toma una colección de cucharas de diferentes tamaños. Ya se acerca Tíffany, de la edad de cinco años, quien le dice que el osito más grande necesita la cuchara más grande, el de tamaño medio la cuchara de tamaño medio, y el osito nene la cuchara más pequeña. "¿Te acuerdas? Como el cuento que la Sra. Laura nos leyó." Rachel le mira a Tíffany y entonces a las cucharas, y después coloca una cuchara ante cada osito al azar. Tíffany inmediatamente se hace cargo y arregla las cucharas de nuevo, de acuerdo con el tamaño de los ositos. Rachel observa por unos segundos y luego se va.

Aunque no sería raro observar un episodio de juego como este en muchos salones preescolares, tuvo un impacto particularmente fuerte en cómo entendía Laura el conocimiento matemático de sus estudiantes. Como miembro nuevo del grupo local del Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM según sus siglas en inglés), Laura llegó a interesarse particularmente en el desarrollo de conceptos matemáticos de parte de sus estudiantes. Se daba cuenta que el crecimiento más notable de conocimiento matemático ocurre entre el grado de pre-kindergarten y el segundo de primaria, y que era especialmente importante en esta etapa enfocarse en guiar el desarrollo de los niños de conceptos matemáticos fundamentales. Sin embargo, la falta de un concertado currículo matemático preescolar le dificultó a Laura decidir cuáles conceptos eran los más apropiados para sus niños preescolares. Así como muchos maestros más, Laura luchó por comprender el desarrollo del aprendizaje matemático de sus estudiantes y relacionarlo con sus decisiones sobre la instrucción (Franke y Kazemi, 2001). Escribió en su diario:

La enseñanza de las matemáticas siempre ha quedado fuera de mi "zona cómoda." Para reforzar los conceptos de la correspondencia uno-a-uno, la clasificación y la seriación, son útiles muchos juegos matemáticos comerciales e ideados por maestros, como los conjuntos de animales, frutas, vehículos, y formas geométricas; juegos de tablero de cuenta; juegos de tablero de clasificación; y varios dados grandes y agujas giratorias. Sin embargo, cuando se usan al azar y por separados, estos juegos tal vez no ayuden a los niños a captar plenamente los conceptos matemáticos en que se basan. Tengo que hacer más que aportar algún tipo de aprendizaje matemático; necesito de veras tener un currículo matemático bien pensado. He probado actividades matemáticas que esperaba que fomentaran el aprendizaje. Hice gráficas con los niños en una colchoneta grande. Les hice que cada uno se quitara un zapato y decidiera dónde colocarlo según el color. Me parecía que esta actividad sería divertida y práctica, pero los niños estaban agitados y aburridos. Desplegué pequeños objetos de manipuleo con propiedades similares para que los niños los exploraran y pusieran en receptáculos. Les animé a traer colecciones de hojas para la mesa de ciencia, y les platiqué de los colores y las formas. Aunque los niños exploraban los objetos, yo sentía que era un reto encontrar una manera de evaluar lo que aprendían los niños y cómo desarrollar más su conocimiento.

Como es evidente según esta anotación en su diario, Laura sentía la necesidad de un fuerte sistema conceptual que tomaría en consideración las características del desarrollo de los niños preescolares y que indicaría los ambientes que fomentaran sus capacidades matemáticas naturales. Tal sistema podría ayudar a Laura a decidir cuáles conceptos matemáticos eran apropiados para sus estudiantes y la orden en que deberían enseñarse. Laura se daba cuenta que estas decisiones tenían que basarse en su conocimiento del desarrollo de los conceptos matemáticos y en una evaluación apropiada de los conocimientos matemáticos infantiles. También se percataba que los programas preescolares tenían que extender y profundizar el conocimiento conceptual que los niños pequeños ya han desarrollado para los 3 años de edad (Payne, 1990). Las pautas nuevas (2000) del NCTM recalcan que todo niño preescolar necesita oportunidades para explorar su mundo y experimentar la matemática jugando. Saber esto, sin embargo, dejaba a Laura con más preguntas que respuestas. Escribió en su diario:

¿Cómo usar el jugar y los materiales para jugar a fin de aumentar el aprendizaje de conceptos primarios de la matemática? En mi papel de facilitar el aprendizaje, ¿cómo puedo hacer a los niños participar en actividades que les permitan progresar en construir los conceptos matemáticos? ¿Cuál es el orden en que los conceptos matemáticos se desarrollan? ¿Cuáles son los conceptos y habilidades principales de matemática que los niños preescolares tienen que desarrollar para darles una base sólida para tener éxito más tarde en la matemática en la escuela? ¿Cómo proporciono con seguridad a cada niño las oportunidades para aprender a su propio paso como individuo? ¿Qué tipo de evaluación continua será más útil en planear un currículo matemático apropiado para el desarrollo? ¿Cómo puedo extender más el conocimiento y las habilidades de los niños en la matemática mejorando mis propios métodos y desarrollando mi conocimiento de cómo enseñar la matemática?

Al observar el episodio del juego de Rachel y Tíffany, Laura pudo concentrar sus esfuerzos en las siguientes preguntas específicas:

Con estas preguntas en la mente, Laura emprendió su proyecto de maestría. Ya que teníamos un interés investigador en el aprendizaje temprano de conceptos matemáticos, nos hicimos las directoras de Laura. En aquel entonces, nuestra propia investigación estaba en la etapa de desarrollar una serie de herramientas de evaluación amenas a los maestros para facilitar el planeamiento del currículo en la materia de la matemática. Este proyecto fue una oportunidad emocionante para que Laura profundizara su entendimiento del aprendizaje de los niños pequeños de la matemática. Para nosotras, el proyecto de Laura fue una oportunidad para implementar y documentar el uso de estas herramientas en un salón de clase preescolar y recibir la retrocomunicación de ella sobre la suficiencia y utilidad de estas para evaluar continuamente el desarrollo de los niños pequeños de los conceptos matemáticos principales. Siendo las directoras de Laura, podíamos documentar, por medio de observaciones y un análisis de sus notas en el diario, el desarrollo de sus pensamientos sobre el aprendizaje de niños pequeños de conceptos matemáticos, y el crecimiento de su entendimiento de la necesidad de alinear el currículo, la instrucción, y la evaluación. En este artículo, enfocaremos en las áreas principales de crecimiento en el desarrollo profesional de Laura que creemos ser posiblemente útiles en el crecimiento de otros maestros de niños preescolares.

Aprender a reconocer el entendimiento demostrado por los niños de los conceptos matemáticos

La etapa primera, la más importante en el desarrollo profesional de Laura, fue la de su capacidad aumentada de identificar el entendimiento demostrado por los niños de los conceptos matemáticos. Su observación de la representación de Rachel y Tíffany del cuento "Goldilocks y los tres osos" le llamó la atención de Laura a "las impresionantes fuerzas matemáticas informales" (Baroody, 2000, p. 61) que los niños pequeños traen al salón de clase. Ella vio que en este episodio Rachel demostró su conocimiento comportamental, es decir, el saber cómo representar procedimientos y papeles, e implementar varios conceptos matemáticos (Katz y Chard, 2000). Por ejemplo, el que escogió sólo los osos de una colección más grande de muñecas y juguetes de peluche demostró su conocimiento comportamental del concepto matemático de la clasificación. La provisión de un plato para cada oso y un oso para cada silla demostró su conocimiento de la correspondencia uno-a-uno; la colocación de los osos en orden del más grande al más pequeño mostró su conocimiento comportamental de la seriación. Tíffany también demostró su conocimiento comportamental de la seriación doble al arreglar las cucharas de nuevo para corresponder con el tamaño de los osos después de que Rachel las había colocado al azar. Más importantemente, sin embargo, Tíffany demostró su capacidad de comunicar de manera verbal lo que había que hacer para que cada oso recibiera la cuchara del tamaño apropiado. La conciencia elevada de Laura del contexto matemático de la interacción entre las dos niñas le ayudó a reconocer las diferentes etapas que habían alcanzado en el desarrollo de su conocimiento de la seriación. Se dio cuenta además que los niños pequeños expresan su conocimiento matemático en una variedad de contextos que no necesariamente se relacionan con las "actividades matemáticas." Como resultado, podía planear tanto experiencias de aprendizaje individualmente apropiadas como experiencias en conjunto en que podían aprender uno del otro. También podía fomentar el aprendizaje informal de la matemática creando un ambiente rico en estímulos matemáticos y platicando con los niños sobre temas matemáticos mientras interactuaban con el ambiente.

La siguiente etapa del desarrollo profesional de Laura fue marcada por un cambio en su entendimiento del papel de los maestros en el aprendizaje de los niños preescolares de los conceptos matemáticos. Según la tradición, la énfasis en los ambientes preescolares ha sido en cómo se adquieren los conceptos, no en lo que se ha de enseñar. Kagan (citado en Jacobson, 1998, p. 12) señaló, "Nos hemos acercado [a la formación temprana] más desde las perspectivas del desarrollo y no desde las perspectivas curriculares. Necesitamos las dos."

El paradigma constructivista basado en la teoría de Piaget del desarrollo cognoscitivo ha proporcionado por mucho tiempo la estructura teórica para la práctica educativa en la que los niños adquirían conceptos mediante la interacción activa con el ambiente y construían su propio conocimiento mientras exploraban sus alrededores. La aplicación de esta teoría a la matemática ha culminado en el uso de materiales de manipuleo que permiten a los niños pequeños a contar, participar en el aprendizaje activo, y desarrollar conceptos (Kaplan, Yamamoto, y Ginsberg, 1989). Se ha percibido que el maestro tiene el papel de proveer una variedad de materiales y arreglar un ambiente rico en materiales y opciones. Sin embargo, en la versión modificada de los principios de la práctica apropiada para el desarrollo (Bredekamp y Copple, 1997), los líderes de la National Association for the Education of Young Children (NAEYC, Asociación Nacional para la Educación de Niños Pequeños) reconocieron que se ha malinterpretado la énfasis en proveer una variedad de opciones en el salón de clase y evitar el instruir a los niños en habilidades específicas. Como resultado, en los ambientes preescolares, los materiales de manipuleo típicamente se usaban de manera no sistemática que permitía una situación doblemente aleatoria: primero, por el aspecto del material manipulativo por sí, y segundo, por las variaciones en la capacidad de los niños de registrarlo (Feuerstein y Feuerstein, 1991). Esta situación aleatoria podía haber prevenido que ocurriera el aprendizaje conceptual auténtico para muchos niños que de otro modo podrían haber sido incluidos en actividades planeadas para el aprendizaje. Aunque el aprendizaje de alta calidad en los años preescolares frecuentemente sucede de manera informal, esta informalidad no implica un programa sin planeamiento o sin sistema. El aprendizaje preescolar de la matemática debería provocar al pensamiento, abarcar oportunidades para aprender activamente, y ser rico en lenguaje matemático. Más recientemente, las pautas del NCTM (2000) tratan la cuestión del contenido matemático, el proceso matemático, y la importancia de presentar a los niños pequeños el lenguaje y las convenciones de la matemática.

Así que recientemente se ha percibido como decisivo el papel del maestro en el aprendizaje activo. El maestro les facilita el aprendizaje a los niños creando un ambiente que faculta el aprendizaje de la matemática (NCTM, 1991). La estructura teórica que influyó en este cambio era la teoría social-constructivista del desarrollo cognoscitivo de Vygotsky (1978, 1986). Según esta teoría, es más probable que ocurra el aprendizaje si los adultos o niños mayores median las experiencias de aprender de los niños pequeños (Baroody, 2000). Vygotsky creía en un continuo de aprendizaje caracterizado por la distancia entre la capacidad de un niño para resolver un problema independientemente, y su capacidad para resolver un problema "con la ayuda máxima" bajo la guía de un adulto u otro niño con más experiencia. Designó esta área donde ocurre el aprendizaje auténtico la "zona del desarrollo próximo" (ZPD, según sus siglas en inglés). El papel del maestro es, por lo tanto, uno de proporcionar "ayuda andamio" (Berk y Winsler, 1995), la cual implica la modificación continua de las tareas para aportar el nivel apropiado de desafío que permite aprender al niño. El adulto cambia la cualidad del apoyo durante una sesión de enseñanza, ajustando la asistencia para corresponder al nivel de rendimiento del niño (Berk y Winsler, 1995). Los niños aprenden por medio de experiencias educativas significativas, naturalistas, y activas. El adulto tiene que basarse en este conocimiento y llevar al niño a niveles más avanzados de entendimiento.

Ya que había adoptado el punto de vista Vygotskiano del aprendizaje, Laura empezó a comprender que tenía que decidir cuáles oportunidades adicionales-no sólo en cuanto a los materiales, sino, aún más importante, en cuanto a las interacciones-ella tenía que proveerles a Rachel, Tíffany, y los demás niños de su clase. Sólo de esta manera podría desarrollar y extender significativamente su entendimiento de la matemática. Escribió en su diario:

Necesito hacer más matemáticamente rico el ambiente físico de mi salón de clase. Los muebles son del tamaño niño y fácilmente adaptables para acomodar el trabajo cooperativo. Hay espacio adecuado y cómodo en el suelo, parcialmente cubierto por alfombras, para que exploren, construyan, y manipulen materiales concretos. Materiales matemáticos y de manipuleo se almacenan en recipientes transparentes en estanterías abiertas y marcadas con dibujos, al alcance fácil de los niños. Ahora tengo la intención de aumentar la comprensión matemática de los niños ayudando su construcción de conocimiento de la correspondencia uno-a-uno, la clasificación, y la seriación.

Para guiar el aprendizaje de los niños de los conceptos que se demostraron durante el episodio de juego libre, Laura comenzó a ver la necesidad de participar en una variedad de situaciones que producen un lenguaje común relacionado con la matemática (Franke y Kazemi, 2001). Por ejemplo, podíamos observar sus conversaciones diarias con los niños que incluían comparaciones de cosas opuestas durante el tiempo libre para jugar. Los niños y la maestra platicaban sobre cuáles bloques eran más grandes o más pequeñas, y cuáles cabían mejor en las estanterías: los pequeños, de tamaño medio, o grandes. También hicieron una costumbre diaria la discusión del orden: quién era la primera persona en la cola, quién era la segunda, y quién era la última o el furgón, la persona que llevaba las meriendas.

El lenguaje permite tanto la adquisición de información nueva como la asimilación de ideas y procesos complejos (Bodrova y Leong, 1996). Preguntas abiertas pueden fomentar el pensamiento extendido. "¿Qué más?" o "Me pregunto qué pasaría si..." puede llamarles la atención de los niños a nuevas maneras de pensar e interactuar. Kamii (1982) explica que es importante permitir a los niños que están construyendo su propio conocimiento matemático hacerlo sin que el maestro recalque la "corrección" ni corrija la "incorrección" de la respuesta del niño. El desacuerdo con los compañeros puede estimular al niño a reexaminar la corrección de su propio pensamiento. Las interacciones sociales mediante juegos en grupo son una fuente excelente de la construcción de nuevas ideas matemáticas y pueden resultar en que los niños hagan nuevas conexiones y expandan su propio razonamiento. Esta interacción les ayuda a hacerse más independientes y menos propensos a contar con el maestro como el único fuente de las respuestas.

Si las situaciones de aprendizaje se organizaran y se basaran en la secuencia del desarrollo de los conceptos matemáticos, el currículo reflejaría la etapa actual del entendimiento de los niños y proporcionaría posibilidades para que cada niño adelantara el desarrollo a su propio ritmo. Según Katz y Chard (2000), la comprensión de "cómo se desarrolla el conocimiento, qué pueden [los niños] entender, y cómo entienden sus experiencias mientras prosigue el desarrollo es otra basis para planear el currículo" (p. 26). Así que para llevar a Rachel y Tíffany del conocimiento comportamental al representacional (p. ej. representaciones mentales o simbólicas de los conceptos abstraídos de experiencias directas y/o indirectas), Laura necesitaba planear cuidadosamente no sólo el arreglo físico de su salón de clase, sino más importantemente sus interacciones con ellas de modo que les ayudara a progresar por las etapas de la representación de los conceptos matemáticos.

Aprender a evaluar el entendimiento de los niños de conceptos matemáticos

Igual que la mayoría de los educadores, Laura buscaba maneras de mejorar la alineación del currículo, la instrucción, y la evaluación. Mientras trabajaba en su proyecto de maestría, comenzó a pensar en un nivel más elevado sobre el lazo entre el currículo y la evaluación. Comprendió que si el propósito de la evaluación era el permitir a los maestros a tomar decisiones apropiadas para mejorar el entendimiento y aprendizaje de los estudiantes de los conceptos matemáticos, su propio entendimiento profundo de estos conceptos, datos, principios, y procesos claves era esencial para planear experiencias apropiadas en el currículo y en el salón de clase. De ahí que para guiar el aprendizaje de los niños de los conceptos matemáticos, necesitaba ella ser completamente versada en la secuencia del desarrollo de los conceptos que los niños aprenden. Sólo entonces podría evaluar el nivel actual del entendimiento de conceptos matemáticos de los niños y planear las experiencias en la zona de desarrollo próximo de ellos.

Laura se daba cuenta, sin embargo, que el conocimiento teórico de por sí era insuficiente para enseñar eficazmente; necesitaría herramientas apropiadas para evaluar tal aprendizaje. La evaluación y la documentación del trabajo de los niños podrían ayudarla a planear experiencias apropiadas para el desarrollo y, aún más importante, experiencias individualmente apropiadas que fomentaran el aprendizaje de los niños. Es muy aceptado entre los profesionales de la niñez temprana que la observación es el método más adecuado para evaluar los niños preescolares y que el juego ofrece un contexto perfecto para observar a los niños y cerciorar su conocimiento y entendimiento (Garvey, 1990; Howes, 1992).

Las secciones siguientes esbozan cómo Laura usó el conocimiento teórico de la secuencia del desarrollo de los conceptos matemáticos que demostraron Rachel y Tíffany en el episodio de juego para evaluar y guiar el aprendizaje de todos los estudiantes de estos conceptos. Los conceptos constan de (1) el aparejar y la correspondencia uno-a-uno, (2) los conjuntos y la clasificación, y (3) el orden y la seriación. El desarrollo infantil de estos conceptos se adelanta por varias etapas. Compilamos estas etapas en una lista de verificación, y Laura usó de esta lista en su proyecto.

Concepto #1: El aparejar y la correspondencia uno-a-uno

Como se discutió antes, la colocación de Rachel de un plato para cada oso demostró su entendimiento del concepto del aparejar y la correspondencia uno-a-uno. Típicamente, los niños de 2 a 4 años de edad desarrollan este entendimiento mediante las relaciones de "más-menos-igual" (Brush, 1972; Gelman y Gallistel, 1978). El aparejar es un requisito previo para la conservación; es uno de los primeros conceptos matemáticos que se desarrollan y forma el fundamento para el desarrollo del raciocinio lógico. La correspondencia uno-a-uno es el componente fundamental del concepto del número. Consta del entendimiento que un grupo está compuesto del mismo número de cosas que otro. Es tanto preliminar al contar como básico para el entendimiento de la equivalencia y el concepto de la conservación de número (Charlesworth y Lind, 1999; Montague-Smith, 1997). Una vez que los niños entienden la correspondencia básica uno-a-uno, pueden aplicar este concepto a actividades más avanzadas que incluyen la equivalencia y la idea de "más o menos" (véase el Apéndice I).

Utilizando la lista de verificación, Laura pudo identificar la etapa del entendimiento de Rachel del concepto de la correspondencia como la de "aparejar conjuntos uniformes de objetos que están relacionados o que van juntos, pero que no son iguales." A fin de apoyar y guiar el aprendizaje de Rachel hasta en siguiente nivel del mismo concepto, Laura proporcionó oportunidades para que aparejara equipos no uniformes de cinco o más objetos. Se valió de toda oportunidad para unirse a Rachel en el área de jugar a "casa." Usando objetos comunes (en cantidades pares y no pares) que Rachel conocía, como las tazas y los platillos, las cucharas y los tenedores, las palas y las cubetas, o conjuntos de animales de plástico, Laura pudo identificar la capacidad de Rachel para aparejar objetos que son o no son iguales. Cuando el uso de Rachel de estos materiales no indicaba un patrón claro, Laura le hacía preguntas específicas. Por ejemplo, Laura llevó a la clase unos animales de plástico para agregarlos a los ositos y empleó recipientes pequeños. En un momento oportuno del juego, ella le pidió a Rachel que encontrara un animal para cada recipiente. Después de repetidas interacciones de esta índole, Laura observó a Rachel jugando en la mesa de "agua", colocando una rana en cada hoja de plástico en el agua. Laura también observó que en la mesa de meriendas, Rachel colocó con cuidado una taza al lado de una servilleta de papel para cada niño.

Para conducir a Rachel del conocimiento comportamental al representacional, Laura se cuidó de usar expresiones relacionadas con el concepto del aparejar y la correspondencia uno-a-uno. Las interacciones sociales ricas con maestros y compañeros más competentes pueden contribuir a las oportunidades infantiles de aprender y de desarrollar el conocimiento comportamental en el representacional. La capacidad de los niños para usar palabras como "no suficiente" y "demasiados" mostrarían su entendimiento en el nivel más avanzado del aparejar y la correspondencia uno-a-uno. El uso de la literatura infantil también facilitó el desarrollo del lenguaje relacionado con los conceptos matemáticos.

Ya que la correspondencia uno-a-uno significa que cierto grupo tiene un número igual de cosas que otro, el objetivo de Laura era el de ayudar no sólo a Rachel sino también a todos los niños de su clase a ver la relación en cualquier conjunto de materiales. Como resultado, Laura convirtió la hora de recoger el salón en un importante "momento matemático" introduciendo un juego de aparejar. Pidió a los niños que colocaran un objeto en un recipiente o en una estantería. Al hacer esta actividad, habían de aparejar objeto a objeto, objeto a dibujo, y dibujo a dibujo (véase el Apéndice I). También presentó los varios juegos comerciales y actividades de aparejar hechas por otros maestros y disponibles a los niños en la hora de juego libre. Estas últimas abarcaban canastas de objetos pequeños, bandejas divididas, tenazas (opcionales, dependiendo de la motricidad fina de cada niño), y un dado de uno a tres o uno a seis. Dichas actividades presentaban el concepto del aparejar: un objeto se pone en cada sección de la bandeja. Una actividad que disfrutaban mucho los niños de la clase de Laura era la de sacar unas canicas de una canasta con una cuchara de draga para hacer bolas de melón, y colocar una canica en cada compartimiento de una cubeta de hielo. Laura escribió en su diario, "Esta actividad es tan popular que tengo que tomar nombres para una lista de espera para aquellos niños que quieren jugar el juego de la canica una y otra vez."

Conforme los niños se hacían más diestros respecto a sus habilidades con la correspondencia uno-a-uno, Laura les presentó juegos de cuadrícula y de camino corto. Los juegos de cuadrícula constan de tarjetas como las de bingo (sin letras ni números) que se usan junto con dados o giradores y contadores (Moomaw y Hieronymus, 1995). Teddy Bear Bingo y Candy Land Bingo son ejemplos de juegos de cuadrícula comerciales. Estos juegos permitían a Laura observar los diferentes niveles en que estaban los niños en cuanto al desarrollo del aparejar y la correspondencia uno-a-uno. A algunos niños les presentaba un reto contar los puntos en los dados; o contaban dos veces u omitían unos puntos. Rachel, por ejemplo, contó hasta seis como "uno, dos, tres; uno, dos, tres." Para otros contar no planteaba ningún problema. Hasta podían usar el lenguaje matemático, no sólo para explicar lo que hacían sino también para predecir lo que necesitaban para ganar el juego. Megan dijo, "Tengo seis, ahora me faltan tres nada más," y Tíffany dijo, "Uno más dos son tres, ya sólo necesito cuatro más." Ya que había observado a Tíffany, Laura le preguntó si le gustaría jugar el juego de cuadrícula con Rachel. Tíffany, a quien le gustaba muchísimo el juego y buscaba toda oportunidad para jugarlo, aceptó sin demora. Durante la interacción entre las dos niñas, Tíffany le dijo a Rachel, "¡Así no se cuentan estos! Mira. Se hace así (señalando cada punto con un lápiz y diciendo 'uno, dos, tres, cuatro, cinco')." Después de varias repeticiones, Rachel ya pudo contar a seis sin ayuda.

En los juegos de camino, los niños tiran uno o más dados para avanzar un indicador en un camino de espacios distintamente separados. Moomaw y Hieronymus (1995) afirman que "los juegos de camino incorporan las estrategias de pensamiento necesarias para los juegos de cuadrículas de nivel más difícil y colocan énfasis adicional sobre las interacciones sociales con los maestros y compañeros" (p. 117). El primer juego de camino corto cubría el camino con fichas de bingo para ayudar a la ardilla a hallar unas nueces. Se usaban los dados de uno a seis (Figura I). Todos los niños podían entender el concepto del juego de camino corto con un comienzo y un fin.

math table

Figura I. La mesa de matemática está preparada para el juego de camino corto de la ardilla.

La siguiente actividad de camino corto era más compleja. El juego de culebra usaba cubos Unifix como indicadores y el girador de uno a seis. El juego de culebra era más difícil para los niños que todavía no habían dominado la habilidad de aparejar conjuntos desiguales de cinco o más objetos. Rachel, por ejemplo, tenía dificultades en aparejar el cubo Unifix con el cuadrado correspondiente. Los cuadrados seguían la forma de una "s", y esta forma la confundía. Ella omitía unos cuadrados y perdió la cuenta al sumar los cubos. No pudo terminar el juego. Tíffany, por otra parte, ya podía predecir, "¡Tengo tres, y ya necesito solo uno más!" También contaba los cuadrados para ver cuántos la faltaban para acabarse. Ella jugó el juego varias veces con gran entusiasmo. Sabiendo que Tíffany había tenido éxito en ayudar a Rachel a aprender a contar los puntos en los dados hasta seis, Laura una vez más le pidió que jugara con Rachel. Esta vez Tíffany empleó otra estrategia para enseñarle a Rachel lo que tenía que hacer. Dijo: "Rachel, nada más pones el dedo en el cuadrado siguiente y después mueves el cubo." Aunque Rachel aprendió rápidamente cómo seguir el camino curvo, todavía tenía problemas con reconocer los números en el girador. Tíffany decidió que tendría que decirle sobre cuántos cuadrados tenía que mover el cubo. Rachel estaba contenta con el que Tíffany la ayudara.

Concepto #2: La clasificación temprana-la creación de conjuntos

Con su representación del cuento de Goldilocks, Rachel demostró su entendimiento de la clasificación al ver la similitud de los ositos a pesar de su tamaño. Según Sugarman (1983), "La clasificación existe al tratarse como equivalentes dos o más eventos discretos" (p. 4). Esta clasificación resulta en el reconocimiento de un grupo de objetos como parte de otro grupo más grande. No obstante, puede que algunas personas traten unos objetos o grupos de objetos como equivalentes por motivos distintos.

Utilizando la lista de verificación, Laura determinó que Rachel tenía el conocimiento comportamental de la clasificación por asociación y que demostró cierto grado de conocimiento de la inclusión en una clase. Así que para guiar el aprendizaje de Rachel de esto concepto, Laura tenía que hacer participar a Rachel en una actividad que le ayudara a entender el concepto de clase: la inclusión. La merienda presentó tal oportunidad. Mientras hacía una ensalada de frutas, Laura preguntó a Rachel: "Tenemos manzanas y bananos en esta ensalada de frutas; ¿podríamos agregar otra fruta?" La hora de recoger el salón también aportó a Laura una oportunidad para pedirle a Rachel que pusiera todos los animales en una sola caja. Unos días después, los niños fingían irse de picnic, y Laura alcanzó a oírle a Rachel decir a los demás niños, "Necesitamos poner toda la comida en la canasta de picnic." Mientras otro niño ponía la comida en la canasta, Rachel recogía una variedad de juguetes y los colocó en otra caja para llevar al picnic. Durante el "picnic", Laura colocó una pelota "accidentalmente" en la canasta, y le reprendió Rachel, diciendo, "Esto no se pone en la canasta de picnic."

Laura se dio cuenta que en cada nivel del desarrollo del concepto, era importante que ella hablara con Rachel y le pidiera describir y luego explicar lo que había hecho. Vygotsky creía que los niños llegan a ser capaces de pensar mientras hablan (Bodrova y Leong, 1996). Cuando un niño demostraba el entendimiento comportamental de un concepto y describió lo que había representado, Laura se cuidaba de hablarle para cerciorar que también podía explicar sus acciones. Esta discusión aseguraba que de hecho el niño había entendido el concepto y que no estaba simplemente repitiendo unas palabras sin ningún entendimiento verdadero. El uso del lenguaje en las actividades compartidas permite al niño construir el significado y también demostrar un nivel avanzado de entendimiento del concepto.

La mayoría de los niños muy pequeños tienen la capacidad para clasificar los objetos. Sin embargo, los niños pequeños no necesariamente saben los nombres de los colores, las formas geométricas, los materiales, etcétera. Esta falta de vocabulario puede equivocarse con una falta de conocimiento o de la capacidad de clasificar por un solo atributo. Por eso el maestro debe pedir a los niños pequeños clasificar las cosas no según determinado color o forma sino, más bien, usando preguntas generales como "¿Puedes hallar algo que es del mismo color (o forma o tamaño o material, etc.) que este?" Para cuando los niños demuestran que pueden clasificar según dos o más atributos, ya han adquirido el vocabulario para describir las características específicas del objeto. Entonces sí es apropiado que el maestro pregunte a los niños, "¿Pueden hallar algo que es rojo y largo?"

Para ayudar a Rachel a desarrollar la capacidad de clasificar según asociación o función, a la hora de recoger el salón Laura le decía, "¿Podrías juntar en esta caja todas las cosas con que dibujas, por favor?," o "¿Podrías buscar en el centro de juego todas las cosas que usan los médicos y ponerlas en un solo lugar, por favor?" Durante el juego dramático, Laura pidió a los niños que recogieran todo lo necesario para hacer una tienda de abarrotes para que Goldilocks pudiera comprar más comida para cocinarles unas gachas de avena a los osos. Aunque no es típico que los niños preescolares tengan un entendimiento claro de la inclusión en y la exclusión de una clase, cuando se les hacen preguntas específicas, algunos podrían demostrar un entendimiento parcial del concepto. Es particularmente probable que entiendan si la inclusión en una clase se relaciona con experiencias personales como visitar la oficina del médico, ir al supermercado, o trabajar en el jardín con uno de los padres (véase Apéndice II).

Un modo más complejo de la clasificación es el hacer gráficas. Las gráficas sencillas de barras, hechas en forma grupal, son apropiadas para el nivel preescolar y permiten a los niños trabajar juntos y aprender los unos de los otros. Las gráficas de barras que presentan información distintamente ofrecen a los niños algo de práctica en crear y comparar los conjuntos:

Una buena gráfica surge del deseo natural de los niños de compartir la información con sus compañeros, medir los resultados, y comparar los mismos. Las gráficas pueden serles especialmente motivadoras a los niños avanzados en sentido cognoscitivo porque provocan un nivel avanzado de pensamiento. (Moomaw y Hieronymus, 1995, p. 170).

Mientras se acercaba el Halloween, Laura hizo participar a los niños en hacer una gráfica basada en las predicciones. Presentó las calabazas con una gráfica titulada "¿Cómo crecen las calabazas?" (Figura 2). Calabazas que crecían de varias maneras ilustraban las opciones: en un árbol de calabazas, en un arbusto de calabazas, en una vid, o bajo tierra. Los nombres de los niños estaban escritos en rectángulos de cartón y estaban disponibles para que los escogieran. Laura llamó a los niños individualmente y les presentó cada opción una vez más y les pidió poner su nombre junto a la manera en que pensaban que las calabazas crecían.

Esta actividad demostró de nuevo que los niños pequeños piensan de manera distinta o no tienen el conocimiento supuesto por los adultos. La mayoría de los niños decidieron correctamente que las calabazas crecían en la vid. Sid, no obstante, declaró, "Las calabazas crecen bajo tierra como las papas." Jamie también escogió la opción subterránea pero no pudo explicar su elección. Al preguntársele por qué, contestó, "Porque sí." Después de acabar la discusión los niños y la maestra, Laura mostró a la clase unas fotos de una siembra de calabazas y unas calabazas en una vid. Preguntó si alguien podía ver cómo crecían las calabazas. Todos se acordaron en que de hecho las calabazas sí crecen en una vid.

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Figura 2. Exhibición gráfica de "¿Cómo crecen las calabazas?"

Concepto #3: El orden y la seriación

En el episodio de juego anteriormente descrito, Rachel demostró también su entendimiento comportamental de la seriación al colocar los osos sistemáticamente en orden del más grande al más pequeño. El ordenamiento es un grado más avanzado de la comparación (el ver las diferencias) e incluye la comparación de más de dos objetos o más de dos grupos. El ordenamiento o la seriación incluye la colocación de más de dos objetos, o de conjuntos con más de dos miembros, en una secuencia. El ordenamiento también requiere la colocación de objetos en una secuencia del primero al último, y es un requisito previo de poner las cosas en un patrón. El ordenamiento forma la base de nuestro sistema numérico (p. ej. 2 es más grande que 1, 3 es más grande que 2, etc.).

Laura vio en la lista de verificación que la siguiente etapa en la secuencia de desarrollo de ese concepto es la seriación doble. Durante el episodio de juego, Rachel no entendía este concepto, como demostró al colocar las cucharas al azar y no según el tamaño de los osos. De hecho, cuando la niña mayor, Tíffany, le recordó que el osito más grande necesitaba la cuchara más grande, Rachel no le hizo caso, y cuando Tíffany siguió, Rachel se fue. Los cuentos como "Goldilocks y los tres osos" frecuentemente se usan para ilustrar el concepto de la doble seriación. No obstante, puesto que Rachel no entendía el concepto después de la primera lectura, Laura decidió proporcionar tazas y cucharas, animales, y tazones de variados tamaños que podían utilizarse en la seriación doble. Más adelante en el año escolar, Laura observó a Rachel explicar a Emily el concepto de la seriación doble de la misma manera en que Tíffany había intentado explicar el mismo concepto a Rachel. Laura escuchó a Emily exclamar por fin, "Ya entiendo-¡el tazón grande va con el perro grande!" Los compañeros competentes pueden poner el ejemplo del uso de conceptos y guiar el aprendizaje del niño menos competente durante las actividades compartidas. Las actividades compartidas exigen a los participantes a aclarar y elaborar sus procesos de raciocinio (Bodrova y Leong, 1996).

Laura también hizo participar a todos los niños en experiencias de aprendizaje que podían ayudarles a ganar el conocimiento tanto comportamental como representacional del concepto del orden y de la seriación. Estas experiencias abarcaban el pedir a los niños que hicieran cola según su estatura antes de salir a jugar, poner los personajes en sus pinturas en orden de acuerdo con su tamaño, ordenar los sonidos en una serie desde el más fuerte al más suave, e ilustrar los objetos según el matiz del más claro al más oscuro o viceversa. El ordenamiento en secuencia de los eventos durante una excursión de clase fue otra experiencia educativa relacionada con entender la seriación que Laura aportó a sus estudiantes. Además, Laura usaba a conciencia el lenguaje matemático cuando los niños jugaban con los bloques, las tazas encajadas, y así por estilo. Algunas preguntas específicas que hizo son: "¿Puedes hallar un bloque más chico que este?" y "¿Puedes hallar algo más grande que esta taza?" Mientras los niños jugaban con vehículos de juguete, ella les pidió que colocaran los carros en orden del más grande al más pequeño o del más pequeño al más grande. Laura también llevó al salón su propia colección de 17 piñas-desde conos de la secoya gigante de California hasta unas piñas diminutitas de pinos siempre verdes jóvenes. Los niños se emocionaron al enterarse de dónde ella las había recogido y de cómo tienen piñas de diferentes tamaños los diferentes tipos de pinos. Les gustó ordenarlos del más pequeño al más grande y viceversa. Aunque la mayoría de los niños empleaban un método de tanteos para ordenarlos, casi todos podían seriar por lo menos 9 de las piñas del más grande al más pequeño. Un niño hasta pudo seriar todas las 17. La seriación al revés era más difícil y exigía que la maestra les diera muchas indicaciones verbales. La inclusión de vocabulario como primero, segundo, tercero, etc. ayudó a los niños a desarrollar el conocimiento representacional de la seriación (véase el Apéndice III).

Al vigilar y evaluar continuamente el entendimiento de los niños, los maestros pueden basarse en el conocimiento de ellos en contextos significativos para los niños. Las listas de verificación ofrecían un medio para mantener un registro del entendimiento de los niños de ciertos conceptos matemáticos en la clase preescolar de Laura. Ella usó estas listas, no para evaluar o determinar la destreza, sino para juntar información que podía utilizarse en el desarrollo del currículo. Se valió de estas listas para identificar las etapas específicas de desarrollo de los conceptos de cada niño y luego para planear los materiales y experiencias educativas apropiados para andamiar el aprendizaje de los niños en la zona de desarrollo próximo de ese concepto. Laura se aseguró de indicar que además de demostrar el entendimiento comportamental, los niños también podían describir y explicar sus acciones. Las explicaciones de los niños de sus acciones ayudaban a Laura a determinar que tenían un entendimiento verdadero del concepto y que no simplemente repetían palabras sin entenderlas de verdad. La evaluación continua le permitía vigilar el progreso individual de los niños y enfocarse así en guiar el aprendizaje de los niños de estos conceptos. Las listas de verificación ayudaban a Laura a tomar decisiones acerca de proporcionarles actividades apropiadas para el desarrollo a los niños con quienes trabajaba. Escribió en su diario:

La lista de verificación me ayudó a arreglar mis lecciones de manera lógica de sencillas a más complejas. Aprendí a observar y escuchar atentamente a los niños no sólo en la mesa de matemática sino también durante el recreo y la hora de juego libre. Pude ajustarme a las necesidades individuales de los niños en varias actividades pre-matemáticas. Alineaba el currículo y la evaluación para captar más plenamente las etapas del desarrollo de los conceptos matemáticos del aparejar y la correspondencia uno-a-uno, la clasificación, y la seriación.

El uso sistemático pero flexible de las listas de verificación en cualquier salón de clase puede facilitarles a los maestros la toma de decisiones sobre cómo organizar el salón de clase, cuáles preguntas hacer, y cuáles recursos que poner a la disposición de cada niño para su desarrollo (Helm, Beneke, y Steinheimer, 1997). Igual que Laura, otros maestros pueden utilizar estas listas mientras observan a grupos pequeños de niños trabajando juntos, o uno por uno a niños específicos participando en alguna actividad. Las listas también pueden usarse en entrevistas individuales para evaluar a niños que no demuestran el entendimiento ni al trabajar independientemente ni en grupos. Además, las listas se pueden utilizar en las evaluaciones del rendimiento para determinar cómo los niños llevan a cabo tareas específicas que imitan las experiencias de la vida real (Billman y Sherman, 1996).

Los maestros pueden usar las listas de verificación con la frecuencia que consideren necesaria para registrar el desarrollo y el entendimiento de los conceptos por parte de los niños. Para determinar el nivel de entendimiento al principio del año escolar, la lista puede utilizarse en las primeras semanas del programa. Sería útil hacer esta evaluación con respecto a cada niño durante las actividades del tiempo libre. El papel del maestro entonces podría ser el de proporcionar una variedad de materiales que permiten a los niños demostrar espontánea y naturalmente su conocimiento comportamental de los conceptos matemáticos. Esta información inicial luego podría utilizarse para decidir cuáles actividades podrían ayudarles tanto a niños específicos como a grupos pequeños de niños que necesitan experiencias similares. Después de ofrecer oportunidades para que los niños demuestren su conocimiento comportamental mediante la participación activa con los materiales, los maestros necesitan interactuar con los niños. Cuando los maestros utilizan el lenguaje de la matemática en tales interacciones, se les ayuda a los niños a avanzar de un nivel de conocimiento comportamental al siguiente, o del entendimiento comportamental al representacional del concepto. Laura observó que el aumento en general de la conciencia de la matemática por parte de los niños condujo a muchas más instancias del uso espontáneo de las habilidades matemáticas en la clase. Anotó en su diario:

Se clasificaban y se seriaban los animales de plástico. Se usaban los bloques de colores para hacer patrones geométricos intrincados. Se usaban los bloques para construir de modos cada vez más complejos. Al principio del año escolar, la construcción con bloques era linear y de un solo nivel. Mientras progresaba el proyecto y los niños llegaban a ser más hábiles, la construcción con bloques se hacía en niveles múltiples y más abstracta. Se contaban los números del calendario muchas veces durante el día, los niños más hábiles ayudando a sus amigos menos hábiles a identificar los nombres de los símbolos numéricos. Este aumento de la conciencia matemática se extendió a los hogares de algunos niños. Varios padres me contaban que sus hijos habían llegado a tener mucho interés en la matemática fuera de la escuela. La madre de Megan, por ejemplo, me contó que ella hacía patrones de "todo": los zapatos de la familia, las latas en el aparador, el cereal, los dulces, y hasta los juguetes de su hermanito.

Es necesario el uso periódico y sistemático de las listas de verificación para vigilar el desarrollo de conceptos de cada niño. La fechación de las observaciones al usar las listas proporciona un registro del crecimiento y el desarrollo de cada niño y ayuda a identificar a los niños que están en etapas cercanas de entendimiento en cualquier momento dado. Este proceso moldea las decisiones del maestro sobre la necesidad de guiar el proceso de aprendizaje de cada niño. "Las evaluaciones de calidad moldean las decisiones de instrucción y permiten a los maestros vigilar el progreso de cada niño a la vez de enfocarse en cómo piensan los niños respecto a la matemática" (NCTM, 2000, p. 6). Cuando el maestro sabe cuáles conceptos quiere que los niños entiendan y las etapas por las cuales se desarrollan, puede planear experiencias de aprendizaje significativas y evaluar el progreso de los niños (Richardson y Salkeld, 1995). Al hacer planes para el desarrollo de los niños, los maestros también tienen que tomar en cuenta los intereses de los niños y las etapas de su desarrollo. Es de suma importancia dejar que los niños tengan tiempo libre para jugar que les permita explorar los conceptos matemáticos. Mientras los niños están participando en una actividad, el maestro puede observar y luego tomar un papel activo en guiar su aprendizaje. Esta interacción fomentará el progreso de los niños del entendimiento comportamental al representacional de conceptos matemáticos. De ahí que el uso flexible pero sistemático de las listas de verificación añadidas abajo puedan facilitarles a los maestros preescolares el desarrollo del conocimiento matemático de los niños. También les ofrecen a los maestros una manera de examinar sistemáticamente sus propias técnicas y tomar decisiones informadas acerca de cumplir con las necesidades individuales de los niños en cuanto al aprendizaje de la matemática. La siguiente anotación en el diario de Laura comunica claramente su sentido de crecimiento profesional:

Durante este proyecto, desarrollé unas habilidades como investigadora. Estudié sistemáticamente mis propias técnicas e hice muchos ajustes para acomodar mis habilidades matemáticas nuevas. Me hice adepta en planear las lecciones y producir las actividades matemáticas apropiadas para el desarrollo de niños. Conforme ganaba más conocimiento y algo de confianza, empecé a desarrollar mi voz profesional. Tanto la mayoría de mis estudiantes como sus padres y los administradores de mi escuela acogieron el proyecto entero con mucho entusiasmo. La emoción de los niños por la matemática fue continua.

Todas las citas del diario de la maestra se incluyen por el permiso suyo.

Baroody, Arthur J. (2000). Does mathematics instruction for three- to five-year-olds really make sense? Young Children, 55(4), 61-67.

Berk, Laura E., & Winsler, Adam. (1995). Scaffolding children's learning: Vygotsky and early childhood education. Washington, DC: National Association for the Education of Young Children. ED 384 443.

Billman, Jean, & Sherman, Janice A. (1996). Observation and participation in early childhood settings. Needham Heights, MA: Allyn & Bacon.

Bodrova, Elena, & Leong, Deborah J. (1996). Tools of the mind: The Vygotskian approach to early childhood education. Columbus, OH: Merrill. ED 455 014.

Bredekamp, Sue, & Copple, Carol (Eds.). (1997). Developmentally appropriate practice in early childhood programs (Rev. ed.). Washington, DC: National Association for the Education of Young Children. ED 403 023.

Brush, Lorelei R. (1972). Children's conception of addition and subtraction: The relation of formal and informal notions. Unpublished doctoral dissertation, Cornell University.

Charlesworth, Rosalind, & Lind, Karen K. (1999). Math and science for young children (3rd ed.). Washington, DC: Delmar.

Feuerstein, Reuven, & Feuerstein, S. (1991). Mediated learning experience: A theoretical review. In Reuven Feuerstein, Pnina S. Klein, & Abraham J. Tannenbaum (Eds.), Mediated learning experiences (MLE): Theoretical, psychological, and learning implications (pp. 3-51). London: Freund.

Franke, Megan Loef, & Kazemi, Elham. (2001). Learning to teach mathematics: Focus on student thinking. Theory into Practice, 40(2), 102-109. EJ 627 349.

Garvey, Catherine. (1990). Play. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Gelman, Rochel, & Gallistel, C. R. (1978). The child's understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Helm, Judy Harris; Beneke, Sallee; & Steinheimer, Kathy. (1997). Documenting children's learning. Childhood Education, 73(4), 200-205. EJ 544 885.

Howes, Carollee. (1992). The collaborative construction of pretend. Albany: State University of New York Press. ED 385 337.

Jacobson, Linda. (1998). Experts promote math, science for preschoolers. Education Week [Online], 16(26). Available: http://www.edweek.com/ew/ewstory.cfm?slug=26early.h17&keywords=experts%20promote.registro requirido.

Kamii, Constance. (1982). Number in preschool and kindergarten: Educational implications of Piaget's theory. Washington, DC: National Association for the Education of Young Children. ED 220 208.

Kaplan, Rochelle G.; Yamamoto, Takashi; & Ginsburg, Herbert P. (1989). Teaching mathematical concepts. In Lauren B. Resnick & Leopold E. Klopfer (Eds.), Toward the thinking curriculum: Current cognitive research (pp. 59-82). Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development. ED 328 871.

Katz, Lilian G., & Chard, Sylvia C. (2000). Engaging children's minds: The project approach (2nd ed.). Stamford, CT: Ablex. ED 456 892.

Montague-Smith, Ann. (1997). Mathematics in nursery education. London, England: David Fulton Publishers.

Moomaw, Sally, & Hieronymus, Brenda. (1995). More than counting. Whole math activities for preschool and kindergarten. St. Paul, MN: Redleaf Press. ED 386 296.

National Council of Teachers of Mathematics. (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: Author. ED 344 779.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: Author.

Payne, Joseph N. (1990). Mathematics for the young child. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. ED 326 393.

Richardson, Kathy, & Salkeld, Leslie. (1995). Transforming mathematics curriculum. In Sue Bredekamp & Teresa Rosegrant (Eds.), Reaching potentials: Transforming early childhood curriculum and assessment (Vol. 2, pp. 23-42). Washington, DC: National Association for the Education of Young Children. ED 391 598.

Sugarman, Susan. (1983). Children's early thought: Developments in classification. Cambridge, England: Cambridge University Press.

Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological processes (Michael Cole, Vera John-Steiner, Sylvia Scribner, & Ellen Souberman, Eds. & Trans.). Cambridge, MA: Harvard University Press.

Vygotsky, L. S. (1986). Thought and language (Alex Kozulin, Trans.). Cambridge, MA: MIT Press.

Apéndice I

Lista de verificación para los conceptos pre-matemáticos preescolares
El aparejar y la correspondencia uno-a-uno

Nombre del estudiante ___________________
Conceptos/ Etapas de Desarrollo sept.-oct. dic.-ene. abr.-may.

Aparejar objetos disímiles pero relacionados

1. Apareja distintos objetos disímiles pero relacionados      
2. Apareja grupos pares-con 5 o menos objetos      
3. Apareja grupos impares-con 5 o más objetos      
4. Utiliza el vocabulario apropiado al aparejar (p. ej. demasiados, no suficientes)      

Aparejar objetos similares

5. Apareja 2 objetos similares      
6. Apareja grupos pares-con 5 o menos objetos      
7. Apareja grupos impares-con 5 o más objetos      
8. Utiliza el vocabulario apropiado al aparejar los objetos similares (p. ej. demasiados, no suficientes)      


GUÍA PARA LAS LISTAS DE VERIFICACIÓN
checkmark Demuestra el conocimiento comportamental del concepto
checkmarkcheckmark Demuestra el conocimiento comportamental y representacional del concepto
0 Demuestra el conocimiento comportamental parcial del concepto
00 Demuestra el conocimiento representacional parcial del concepto
X No demuestra ningún conocimiento del concepto

Apéndice II

Lista de verificación para los conceptos pre-matemáticos preescolares
Conjuntos de clasificación

Nombre del estudiante ___________________
Conceptos/ Etapas de Desarrollo sept.-oct. dic.-ene. abr.-may.
1. Puede agrupar objetos idénticos      
2. Clasifica los objetos según 1 atributo-color, forma, tamaño, material, patrón, textura    
3. Clasifica según 2 atributos      
4. Clasifica según 3 atributos      
5. Describe lo que se ha hecho al clasificar según 1, 2, o 3 atributos      
6. Explica lo que se ha hecho al clasificar según 1, 2, o 3 atributos      
7. Clasifica según la función      
8. Describe y/o explica lo que se ha hecho      
9. Clasifica según la asociación      
10. Describe y/o explica lo que se ha hecho       
11. Entiende la exclusión de una clase      
12. Entiende la inclusión en una clase      
13. Describe y/o explica lo que se ha hecho      
14. Clasifica según el número      


GUÍA PARA LAS LISTAS DE VERIFICACIÓN
checkmark Demuestra el conocimiento comportamental del concepto
checkmarkcheckmark Demuestra el conocimiento comportamental y representacional del concepto
0 Demuestra el conocimiento comportamental parcial del concepto
00 Demuestra el conocimiento representacional parcial del concepto
X No demuestra ningún conocimiento del concepto

Apéndice III

Lista de verificación para los conceptos pre-matemáticos preescolares
El ordenamiento y la seriación

Nombre del estudiante ___________________
Conceptos/ Etapas de Desarrollo sept.-oct. dic.-ene. abr.-may.
1. Compara los atributos opuestos (p. ej. largo/corto, grande/pequeño, etc.)      
2. Ordena 3 objetos al azar    
3. Ordena 3 objetos por método de tanteos      
4. Ordena 3 objetos de manera sistemática      
5. Seria en orden invertido      
6. Hace la seriación doble      
7. Describe lo que se ha hecho      
8. Explica lo que se ha hecho      


GUÍA PARA LAS LISTAS DE VERIFICACIÓN
checkmark Demuestra el conocimiento comportamental del concepto
checkmarkcheckmark Demuestra el conocimiento comportamental y representacional del concepto
0 Demuestra el conocimiento comportamental parcial del concepto
00 Demuestra el conocimiento representacional parcial del concepto
X No demuestra ningún conocimiento del concepto

Información acerca de las autoras

Anna Kirova es profesora asistente en el Departamento de la Educación de Primaria en la Universidad de Alberta, Edmonton, Alberta, Canadá. Le interesa la investigación en el área del desarrollo profesional de los maestros mediante la participación en la práctica pensativa, el aprendizaje temprano de los conceptos matemáticos, el uso infantil de la tecnología de las computadoras en los ambientes escolares libres de parcialidad sexual, y las experiencias de niños cultural y lingüísticamente diversos de soledad y aislamiento en la escuela.

Anna Kirova
Profesora Asistente
Departamento de la Educación de Primaria
Facultad de la Educación
Universidad de Alberta
Edmonton, AB T6G 2G5
Canadá
Teléfono: 780-492-4273, extensión 263
Fax: 780-492-7622
Correo electrónico: anna.kirova@ualberta.ca

Ambika Bhargava es Profesora Asistente en el Departamento de Desarrollo Humano y Estudios de la Niñez en la Universidad Oakland, Rochester, Michigan. Le interesa la investigación sobre el papel del adulto en crear las condiciones que fomentan el aprendizaje. Específicamente, tres subdivisiones de este tema se relacionan con el desarrollo de los conceptos matemáticos de los niños preescolares, el uso infantil de las computadoras, y la creación de ambientes escolares libres de parcialidad sexual.

Ambika Bhargava
Profesora Asistente
Departamento de Desarrollo Humano y Estudios de la Niñez
Colegio de la Educación y los Servicios Humanos
Universidad Oakland
Rochester, MI 48309
Correo electrónico: abhargava@oakland.edu

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